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Il mwawmesolabio è uno strumento creato da mwbaEratostene che permette di risolvere meccanicamente il problema di individuare due lunghezze mwbqmedio proporzionali tra due segmenti noti. Può essere considerato come uno dei primi mwbgcalcolatori meccanici della storia.cite-ref-1[1]cite-ref-2[2]

• Descrizione dello strumento

• I medi proporzionali e la duplicazione del cubo

• Dimostrazione matematica

• Estensione del mesolabio ed uso musicale

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il mesolabio di Eratostene è formato da tre pannelli rettangolari di forma uguale che possono scorrere e sovrapporsi in direzione orizzontale. Sul lato verticale destro di ogni pannello è indicata una scala graduata letta dal basso verso l'alto. Su ogni pannello è tracciata la diagonale che congiunge il vertice superiore sinistro a vertice inferiore destro in modo che durante il movimento dei pannelli le diagonali rimangano sempre parallele tra loro. Una corda è tesa, mediante un peso in sospensione, tra due punti A e B che possono scorrere lungo i lati lati verticali esterni dei pannelli 1 e 3.

Siano mwgw a {\displaystyle a} e mwha b {\displaystyle b} le due lunghezze tra cui vogliamo trovare due segmenti medio proporzionali mwhq x {\displaystyle x} e mwhg y {\displaystyle y} , ossia i due valori che soddisfano le proporzioni

mwia a : x = x : y = y : b . {\textstyle a:x=x:y=y:b\;.}

Il mesolabio di Eratostene permette di ottenere queste misure mediante il seguente procedimento:

1. I punti mwja A {\displaystyle A} e mwjq B {\displaystyle B} tra cui è sospesa la corda vengono spostati lungo i lati esterni dei pannelli 1 e 3 in modo tale che le loro distanze dalla base corrispondano con mwjg a {\displaystyle a} e mwjw b {\displaystyle b} . In relazione alla figura avremo:mwka A C = a B F = b . {\displaystyle {\begin{aligned}AC=a&&BF=b\end{aligned}}\;.}

2. La corda interseca ora i lati destri dei pannelli 1 e 2 nei punti mwkg X {\displaystyle X} e mwkw Y {\displaystyle Y} , chiamiamo mwla x {\displaystyle x} e mwlq y {\displaystyle y} le loro distanze dalla base. In relazione alla figura avremomwlg Y S = y X D = x . {\displaystyle {\begin{aligned}YS=y&&XD=x\end{aligned}}\;.}

3. Facciamo scorrere in orizzontale i tre pannelli fino a quando il punto mwma X {\displaystyle X} non si sovrappone con la diagonale del pannello 2 ed il punto mwmq Y {\displaystyle Y} con la diagonale del pannello 3. In questa configurazione il mesolabio permette di misurare sulle scale graduate i valori di mwmg x {\displaystyle x} e mwmw y {\displaystyle y} e questi soddisfano la proporzione cercata.

Lo stesso Eratostene considerava l'invenzione del mesolabio come un risultato di grande importanza, in particolare al suo possibile utilizzo per risolvere il problema della mwngduplicazione del cubo, uno dei problemi aperti proposti da mwnwEuclide negli mwoaElementi. mwoqEutocio nei suoi commenti ad mwogArchimede cita una lettera di Eratostene al re mwowTolomeo III in cui racconta la genesi del problema della duplicazione del cubocite-ref-3[3]:

mwqqEratostene a Tolomeo salute mwqgNarrano che uno degli antichi poeti tragici facesse apparire sulla scena Mino nell’atto di far costruire una tomba Glauco e che Mino, accorgendosi che questa era lunga a ogni lato 100 piedi, dicesse “Piccolo spazio invero accordasti alla tomba di un re, raddoppialo conservando sempre la forma cubica, raddoppia subito tutti i lati del sepolcro”. mwqwOra è chiaro che egli si ingannava, infatti, duplicandone i lati, una figura piana quadruplica mentre una solida si ottuplica. Allora anche fra i geometri fu agitata la questione in qual modo si potesse duplicare una data figura solida qualunque conservandone la specie. E questo problema fu chiamato duplicazione del cubo.mwra Dopo di che tutti furono per lungo tempo titubanti, per primo Ippocrate da Chio trovò che se tra due linee rette, delle quali la maggiore sia doppia della minore, si inscrivono due medie in proporzione continua, il cubo sarà duplicato e così trasformò una difficoltà in un’altra non minore. Si narra poi che più tardi i Delii, spinti dall’oracolo a duplicare una certa ara, caddero nello stesso imbarazzo ed alcuni delegati vennero spediti ai geometri che convenivano con Platone all’Accademia per eccitarli e cercare quanto era richiesto. Essi se ne occuparono con diligenza e si dice che, avendo cercato di inserire due medie tra due rette, Archita Tarantino vi riuscisse col semicilindro ed Eudosso invece mediante certe linee. Questi furono seguiti da altri, nel rendere più perfette le dimostrazioni, non però nell’effettuare la costruzione ed accomodarla alla pratica, eccettuato forse Menecmo e con gran fatica.

Eratostene attribuisce a mwrgIppocrate di Chio la scoperta che, dato un cubo di spigolo mwrw a {\displaystyle a} , si può determinare lo spigolo mwsa x {\displaystyle x} del cubo di volume doppio individuando i due medi proporzionali mwsq x {\displaystyle x} e mwsg y {\displaystyle y} tra i segmenti mwsw a {\displaystyle a} e mwta 2 a {\displaystyle 2a} , ossia attraverso le proporzioni

mwtg a : x = x : y = y : 2 a {\textstyle a:x=x:y=y:2a} .

In termini algebrici queste proporzioni restituiscono il sistema di uguaglianze tra i prodotti degli medi e degli estremi:

mwuq { a y = x 2 2 x a = y 2 {\displaystyle {\begin{cases}ay=x^{2}\\2xa=y^{2}\end{cases}}} .

Risolvendo tale sistema si ottiene l'equazione mwuw x 4 = 2 a 3 x {\displaystyle x^{4}=2a^{3}x} che, fintanto che mwva x {\displaystyle x} non è nullo, restituisce

mwvg x 3 = 2 a 3 {\displaystyle x^{3}=2a^{3}} ,

ossia il cubo costruito sul primo medio proporzionale è doppio del cubo costruito sul segmento di partenza.

In questo modo il problema della duplicazione del cubo viene trasformato in un problema, di non minore difficoltà per il tempo, di ricerca dei medi proporzionali utilizzando strumenti geometrici. La soluzione di mwwqMenecmo citata da Eratostene prevede di disegnare due parabole di vertice corrispondente, assi perpendicolari e di caratteristiche mwwg a {\displaystyle a} e mwww 2 a {\displaystyle 2a} cite-ref-4[4]. In questo modo il rettangolo di lati paralleli agli assi che viene individuato dalle intersezioni tra le due parabole avrà lati di lunghezza mwya x {\displaystyle x} e mwyq y {\displaystyle y} , medio proporzionali tra mwyg a {\displaystyle a} e mwyw 2 a {\displaystyle 2a} . In termini moderni questo significa disegnare le due parabole

mwzq y 2 = a x e x 2 = 2 a y , {\displaystyle {\begin{aligned}y^{2}=ax&&{\text{e}}&&x^{2}=2ay\quad ,\end{aligned}}}

le cui intersezioni sono l'origine del piano cartesiano e il punto mwzw P = ( x ; y ) {\displaystyle P=(x;y)} .

Per mostrare il principio matematico di funzionamento del mesolabio di Eratostene partiamo considerando una versione semplificata con due soli pannelli, rappresentati in figura dei rettangoli mwag A B C D {\displaystyle ABCD} e mwaw A ′ B ′ C ′ D ′ {\displaystyle A'B'C'D'} . La cordicella è tesa tra i punti mwba A {\displaystyle A} e mwbq Y {\displaystyle Y} agli estremi esterni dei pannelli. Sovrapponiamo i due pannelli in modo tale che il punto mwbg X {\displaystyle X} sia intersezione tra il lato destro mwbw B C {\displaystyle BC} del primo pannello e la diagonale mwca A ′ C ′ {\displaystyle A'C'} del secondo pannello. Individuiamo le seguenti lunghezze:

• mwcw a = A D = B C = A ′ D ′ = B C ′ {\displaystyle a=AD=BC=A'D'=BC'} , altezza dei rettangoli;

• mwdq b = A B = C D = A ′ B ′ = C ′ D ′ {\displaystyle b=AB=CD=A'B'=C'D'} , base dei rettangoli.

Vogliamo mostrare ora che le lunghezze mwew x = X C {\displaystyle x=XC} e mwfa y = Y C ′ {\displaystyle y=YC'} soddisfano la proporzione mwfq a : x = x : y {\displaystyle a:x=x:y} . Per fare questo osserviamo che:

1. I triangoli mwga X C △ △ C ′ {\displaystyle X{\overset {\bigtriangleup }{C}}C'} e mwgq A C △ △ D {\displaystyle A{\overset {\bigtriangleup }{C}}D} sono simili dunque, detta mwgg u = C C ′ {\displaystyle u=CC'} la base del primo, sarà valida la proporzione mwgw a : b = x : u {\displaystyle a:b=x:u}

2. I triangoli mwhq A X △ △ B {\displaystyle A{\overset {\bigtriangleup }{X}}B} e mwhg X Y △ △ S {\displaystyle X{\overset {\bigtriangleup }{Y}}S} sono simili dunque sarà valida la proporzione mwhw ( a − − x ) : b = ( x − − y ) : u {\displaystyle (a-x):b=(x-y):u}

Usando la prima proporzione per sostituire il rapporto mwiq a : b {\displaystyle a:b} nella seconda otteniamo:

mwiw x : u − − x : b = x : u − − y : u {\displaystyle x:u-x:b=x:u-y:u}

da cui segue eliminando termini uguali ai due lati dell'equazione:

mwjg x : b = y : u ⇒ ⇒ x : y = b : u {\displaystyle x:b=y:u\quad \Rightarrow {}\quad x:y=b:u}

ed ora è sufficiente sfruttare nuovamente la prima proporzione per sostituire mwka b : u {\displaystyle b:u} con mwkq a : x {\displaystyle a:x} per ottenere la proporzione mwkg a : x = x : y {\displaystyle a:x=x:y} cercata.

La proporzione trovata vale tra ogni coppia di pannelli consecutivi disposti nella corretta configurazione dunque per mostrare la relazione

mwlq a : x = x : y = y : b . {\textstyle a:x=x:y=y:b\;.}

per i tre pannelli del mesolabio di Eratostene basta osservare che valgono:

• mwmq a : x = x : y {\textstyle a:x=x:y} tra il pannello 1 ed il pannello 2;

• mwmw x : y = y : b {\textstyle x:y=y:b} tra il pannello 2 ed il pannello 3.

Possiamo estendere questo dispositivo aggiungendo un numero arbitrario di pannelli in sequenza. Sia dunque mwng X n {\displaystyle X_{n}} il punto di intersezione tra la diagonale del pannello n-esimo e il lato destro del pannello (n-1)-esimo, disposti in modo che questo punto cada sulla retta che passa per mwnw A {\displaystyle A} e per tutti gli mwoa X 1 , X 2 , … … , X n − − 1 {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1}} precedenti. Siano mwoq x 1 , x 2 , … … , x n − − 1 {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-1}} le distanze tra questi punti e la base del rispettivo rettangolo, allora avremo:

mwow a : x 1 = x 1 : x 2 = x 2 : x 3 = ⋯ ⋯ = x n − − 1 : x n . {\displaystyle a:x_{1}=x_{1}:x_{2}=x_{2}:x_{3}=\dots =x_{n-1}:x_{n}\;.}

Questa estensione del mesolabio verrà usata da mwpqGioseffo Zarlino per la suddivisione della corda per ottenere mwpg12 semitoni uguali e proporzionali nell'ottavacite-ref-5[5]. Usando infatti un mesolabio composto da 13 pannelli ed una fune tesa tra due lunghezze mwqw a {\displaystyle a} , lunghezza della corda, e mwra a 2 {\displaystyle {\frac {a}{2}}} . Si individuano 12 distanze che soddisfano

mwrg a : x 1 = x 1 : x 2 = x 2 : x 3 = ⋯ ⋯ = x 11 : x 12 = x 12 : a 2 {\displaystyle a:x_{1}=x_{1}:x_{2}=x_{2}:x_{3}=\dots =x_{11}:x_{12}=x_{12}:{\frac {a}{2}}}

dove la corda pizzicata produce 12 semitoni uguali prima di tornare alla fondamentale un'ottava più alta.

cite-note-11. ↑ mwtgmwtwmwuaMesolabio, su mwuqmat.uniroma2.it.

cite-note-22. ↑ mwvq(mwvgmwvwEN) David Burton, mwwamwwqThe History of Mathematics: An Introduction (mwwgmwwwPDF), Seventh Edition, McGraw-Hill, 2011, pp.mwxa 184-185.

cite-note-33. ↑ mwyamwyqmwygFonti storiche sul problema della duplicazione del cubo (mwywmwzaPDF), su mwzqcrf.uniroma2.it.

cite-note-44. ↑ mw0qFranco Ghione, mw0gmw0wIl parabolografo e la duplicazione del cubo con qualche cenno alla teoria di Galois e alle costruzioni con riga e compasso (mw1amw1qPDF), su mw1gcrf.uniroma2.it.

cite-note-55. ↑ mw2g(mw2wmw3aEN,mw3q mw3gPL) Anna Wiśniewska, mw3wmw4aDivision of music intervals by means of descriptive geometry and mechanical system methods in Gioseffo Zarlino’s treatises entitled Le Istitutioni Harmoniche and Sopplimenti Musicali, in mw4qNotes Muzyczny, vol.mw4g 1, n.mw4w 5, pp.mw5a 117-145.

• mw6aEratostene

• mw6gDuplicazione del cubo

• mw7aMedio proporzionale

• mw7gTecnologia ellenistica

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su mesolabio

• mw8wRicostruzione di un mesolabio, su macchinematematiche.orgm, Associazione Macchine Matematiche ETS.

• mw9qSimulazione di un mesolabio, su geogebra.org.